Solidi platonici 1

[marcomasetti]

C’è una differenza sostanziale tra il disegno computerizzato 2D e quello 3D.
Nella geometria una linea curva in 2D viene espressa dalla formula f(x,y)=0, mentre una superficie in 3D dalla formula f(x,y,z)=0. In entrambi i casi si tratta di insiemi continui di punti, del piano o dello spazio, le cui coordinate soddisfano l’equazione relativa. Ad esempio una circonferenza di raggio r centrata in O ha come equazione:
x^2+y^2-r^2=0
La sfera ha come equazione:
x^2+y^2+z^2-r^2=0
Introducendo poi una quarta coordinata w si entra nell’iperspazio con l’ipersfera quadridimensionale:
x^2+y^2+z^2+w^2-r^2=0

Esistono altri modi per esprimere l’equazione di una curva o di una superficie, ad esempio la forma parametrica.
Per una curva (che ha una sola dimensione e quindi un solo parametro):
x=f(u)
y=g(u)
z=h(u)
( se la curva è in 2D va omessa la terza coordinata  z=h(u)  )
Per una superficie (che ha due dimensioni e quindi due parametri):
x=f(u,v)
y=g(u,v)
z=h(u,v)
Da notare che dando un valore determinato ad un parametro, per esempio v=vo, si ottiene una sola linea curva in 3D.  Poiché è possibile assegnare una infinità di valori a tale parametro v, si può immaginare la superficie come composta di infinite linee curve giustapposte una all’altra. Ovvero una superficie può essere intesa come un fascio di linee curve. In realtà l’equazione parametrica definisce due fasci di linee curve: un fascio è quello composto dalle curve che si ricavano tenendo bloccato il valore v, l’altro è il fascio dove al contrario il valore u è considerato fisso, mentre si immagina v come parametro.
Ad esempio una circonferenza di raggio r centrata in O ha come equazione:
x=r*cos(u)
y=r*sin(u)
con  0<=u<360  (con I valori delle funzioni trigonometriche espresso in gradi)
La sfera ha come equazione:
x=r*cos(u)*cos(v)
y=r*sin(u) *cos(v)
z=r* sin(v)
con  0<=u<360  (u è l’azimut o  longitudine) ,  - 90<=u<=90  (v è la  latitudine, vale 0 sull’equatore)
E’ evidente che bloccando v si ottiene un parallelo: quindi diversi valori di v con  u come parametro costruiscono una sfera composta di paralleli sovrapposti. Prefissando u con v come parametro si ottengono i meridiani, che ruotando attorno all’asse generano pure la sfera.
Il calcolatore è in grado di interpretare, con la maggioranza dei programmi 2D, alcune linee come effettive linee curve, cioè di volta in volta il calcolatore calcola l’ubicazione dei punti secondo la formula, a seconda dell’ingrandimento. 
Per esempio il comando 2D:
circle2  xc,yc, r
fornisce una effettiva circonferenza centrata in xc,yc con raggio r (non un poligono).
Invece il comando 3D:
resol n   !n>3
circle r
fornisce un poligono regolare centrato in 0 con raggio r, di n lati (non una effettiva circonferenza).
I programmi di disegno 3D non sono in grado di riconoscere le superfici e nemmeno le linee in 3D.  Pertanto le superfici, che dovrebbero essere curve, vengono sostituite da un certo numero di poligoni piani costruiti sulla superficie stessa. Le linee 3D vengono invece sostituite da una spezzata, composta da un certo numero di segmenti. Non è possibile per il calcolatore portare al limite, come fa la nostra mente, il processo di suddivisione in poligoni della superficie per arrivare ad avere una autentica continuità, priva di spigoli. Con una memoria random molto potente si può aumentare il numero di facce, ma certamente non possono diventare infinite.  Pertanto, ad esempio, il calcolatore non può costruire la sfera, ma un suo “surrogato”. L’idea della curvatura è data dall’arteficio del rendering, che permette di lisciare gli spigoli.  In un programma di disegno 3D si possono pertanto costruire tipologie di “sfera” molto diverse: a seconda di come viene costruita la suddivisione in poligoni si può partire dal tetraedro, dall’ottaedro, dal cubo o da altre forme. Solitamente la sfera è ricavata a partire dall’ottaedro, perché nella tipologia che suddivide la sfera in paralleli e meridiani, la suddivisione minima fornisce appunto l’ottaedro.
Con gli oggetti predefiniti non è possibile verificarlo, perché la risoluzione minima è 3 (dovrebbe essere 2)
resol 3
sphere 1
I solidi platonici sono figure inscritte nella sfera e composte di poligoni regolari uguali.
Sono:  il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro, l’icosaedro (rimando ancora al testo A.Marcolli, teoria del campo, pag.356).
Per costruirli come forma primitiva occorre anzitutto riferirsi alla “GDL reference guide.pdf” pag.83. In quel capitolo viene mostrato lo script per il cubo.
Per realizzare una primitiva occorre prima elencare i vertici VERT,  poi elencare i segmenti degli spigoli EDGE, infine elencare i poligoni PGON. I PGON devono contenere indici che si riferiscono agli EDGE, i quali a loro volta devono contenere indici che si riferiscono ai VERT. La parte più complessa è segnare correttamente gli indici degli EDGE nei PGON.  I poligoni devono infatti essere costruiti con contorni di EDGE che seguono percorsi antiorari visti dall’esterno, due poligoni adiacenti devono avere l’indice dell’EGDE comune con valori numerici di segno opposto. Infine i poligoni devono sempre essere piani (il problema non si pone se sono triangoli). Il problema è che mentre gli EDGE vengono sempre visualizzati, se c’è un errore nel percorso degli EDGE, nel PGON non viene visualizzato nulla, ma solo c’è il messaggio di errore.  Pertanto la numerazione dei VERT e degli EDGE deve sempre essere accurata, verificando che alcuni non siano stati ripetuti (poi i conti non tornano).  Qui è di primaria importanza realizzare schizzi a mano con la forma sviluppata sul piano, indicando con un colore il numero relativo ai VERT, con un altro colore l’indice di ciascun EDGE, segnando pure il verso assegnato all’EDGE (un EDGE è definito da due VERT e segue la direzione dal primo VERT al secondo). Nei punti dove è stata ritagliata la forma per svilupparla sul piano, verranno ovviamente ripetuti gli indici di EDGE e VERT, perché sono stati sdoppiati.
Allego gli oggetti gsm con il tetraedro, l’ottaedro, il dodecaedro. Aprendoli potrete leggere gli scripts.