Equazioni della retta e del piano

[marcomasetti]

In questo post analizzo l’equazione della retta per dedurre, in analogia, l’equazione del piano.
Capire qual è il significato geometrico dei parametri che definiscono l’equazione del piano può essere utile nell’applicazione del comando CUTPLANE, che vi si riferisce.
Consideriamo l’equazione della retta in 2D:    a*x+b*y+d=0   
Osserviamo che l’espressione
a*x+b*y=-d    (1)
equivale al prodotto scalare tra i due vettori:
[a,b]
[x,y]
che è posto uguale a -d.
Ciò significa che la proiezione ortogonale r di [x,y] su [a,b],
moltiplicata per il modulo di [a,b], pari a sqr(a^2+b^2), vale -d:
r*sqr(a^2+b^2)=-d
r=-d/sqr(a^2+b^2)
Pertanto il punto [x,y] deve appartenere alla retta rr ortogonale ad [a,b],
che attraversa il vertice N, staccato lungo la retta per il vettore [a,b],
che dista r da O.
Dato che il versore di [a,b] vale: [a,b]/sqr(a^2+b^2), risulta:
N=r*[a,b]/sqr(a^2+b^2)=-d/(a^2+b^2)*[a,b]
Siano XO,YO le coordinate dei punti ove la retta rr taglia i due assi cartesiani.
Dal confronto tra i triangoli simili:
O-[XO,0]-[0,YO], O-[a,0]-[a,b]  risulta:
XO/b=YO/a
mentre dal confronto tra i triangoli simili:
O-N-[0,YO],  O-[a,0]-[a,b] si ricava:
sqr(YO^2-r^2)/a=r/b     YO^2-r^2=r^2*a^2/b^2  YO=r*sqr(a^2+b^2)/b=-d/b
XO=-d/a
relazioni che potevano essere ricavate direttamente dalla (1),
ponendo alternativamente x, y nulli.

In analogia in 3D il piano di equazione:
a*x+b*y+c*z=-d    (2)
equivale al prodotto scalare tra i due vettori:
[a,b,c]
[x,y,z]
che è posto uguale a -d.
Ciò significa che la proiezione ortogonale r di [x,y,z] su [a,b,c],
moltiplicata per il modulo di [a,b,c], pari a sqr(a^2+b^2+c^2), vale -d:
r*sqr(a^2+b^2+c^2)=-d
r=-d/sqr(a^2+b^2+c^2)
Pertanto il punto [x,y,z] deve appartenere al piano pp ortogonale ad [a,b,c],
che attraversa il vertice N, staccato lungo la retta per il vettore [a,b,c],
che dista r da O.
N=-d/(a^2+b^2+c^2)*[a,b,c]
Le coordinate XO,YO dei punti staccati sui due assi cartesiani:
XO=-d/a
YO=-d/b
YO=-d/c

Pertanto le tre tracce di pp sui piani coordinati sono fornite da:
a*x+b*y=-d
b*y+c*z=-d
c*z+a*x=-d
le quali risultano normali alle tre proiezioni del vettore [a,b,c]:
[a,b,0],[a,0,c],[0,b,c]
Poichè tale vettore è normale al piano pp,
risulta verificato il teorema della geometria descrittiva che afferma:
una retta è ortogonale a un piano
quando le proiezioni ortogonali della retta sono ortogonali alle rispettive tracce del piano.

Nota: per chi fosse interessato a scaricare la mia libreria di oggetti GDL, l'ho inserita in DROPBOX, dove è possibile compartirla, scrivendo al mio indirizzo e-mail promasetti@gmail.com (non ho però ben capito come funziona questo servizio di condivisione)