La matematica, grazie alla interfaccia intuitiva, non viene praticamente più utilizzata da chi si serve di programmi di design. Eppure è un modo per esercitare la logica che può essere inteso come una partita a scacchi con il calcolatore, potentissimo nell'eseguire i calcoli, ma cieco in quanto ad intuizione e fantasia. La possibilità di tradurre visivamente l'algebra fu intuita nel Seicento da Cartesio, ma il calcolatore permette viaggi mentali allora impensabili.
Tramite la matematica possiamo verificare che tra forme apparentemente diverse sussiste una stretta analogia.
La funzione sinusoidale sin(x), assieme a quella da lei derivata cos(x)=sin(x+90), ovvero cos(x-90)=sin(x), genera la circonferenza.
In un certo senso la circonferenza e la funzione sinusoidale sono la stessa cosa, si tratta di un unico concetto visto sotto aspetti diversi.
Un punto mobile, che si sposta sulla circonferenza di raggio 1 con velocità angolare 1, e che trasla in senso ortogonale al piano della circonferenza con velocità 1, definisce una traiettoria ad elica cilindrica che, a seconda del tipo di proiezione 2D, fornisce una circonferenza oppure linee di tipo sinusoidale.
In prospettiva può essere rappresentata da una spirale.
Se invece il punto, oltre la rotazione, trasla a velocità costante lungo il piano della circonferenza, si avranno direttamente curve sinusoidali sul tipo della cicloide, ottenibili comunque dalla proiezione parallela dell'elica cilindrica.
Elica, sinusoide e circonferenza sono strettamente collegate.
Oggetto di riferimento: elica_sinus.gsm
In definitiva la funzione seno è costruita con un flesso, a partire da un semiarco ascendente, che viene prima riflesso orizzontalmente, diventando un arco intero, poi viene ruotato, creando una simmetria appunto rotatoria. Tale forma viene poi reiterata all’infinito nei due sensi. Traslando all’indietro la forma ad onda cosi ottenuta di un valore pari alla semiluce dell’arco L/2, che è ¼ della lunghezza d’onda, si ricava la funzione complementare coseno:
cos(x)=sin(x+L/2)
Dato che il programma calcola l’angolo in gradi, la lunghezza d’onda vale:
2*L=360
Risulta pertanto:
cos(x)=sin(x+90)
cos(x-90)=sin(x)
Facendo variare x da 0 a 360 l’equazione parametrica della circonferenza, con centro in O e raggio r, risulta:
xx= r*cos(x)
yy= r*sin(x)
(Ho utilizzato xx e yy come simboli per le coordinate x,y dato che in questo caso x rappresenta la variabile parametrica angolare, che in origine era l’ascissa della sinusoide),
Mi chiedo: se invece di utilizzare per il flesso l’arco sinus, utilizzassi un arco di tipo diverso, sicuramente avrei un tipo di onda che invece di generare il cerchio, fornirà una curva chiusa di tipo diverso.
Ho provato a farlo utilizzando il flesso della parabola cubica ed ho ottenuto una forma a uovo che taglia il cerchio in 6 punti. Le funzioni analoghe al seno e coseno costruite in tal guisa le ho indicate con:
snx=snx(x)
csx=csx(x) = snx(x-90)
Oggetti di riferimento:
parabola cubica.gsm
onda parabola cubica.gsm
Tuttavia utilizzando un flesso qualsiasi, che si azzera al centro e agli estremi, si ottiene , è vero, una curva chiusa, ma a parte i valori di x pari a 0,90,180,270 , succede che i rimanenti valori non corrispondo più ai valori angolari dell’arco, anche se vi si avvicinano. Ovvero la curva chiusa finale non è costruita, come accadeva per il cerchio, secondo le coordinate polari. In altri termini i valori di x della funzione y= snx(x) non corrispondono più alle lunghezze misurate sull’arco. Perché corrispondano a tali lunghezze occorre infatti che valga la relazione:
snx/csx=tan(x)
come accadeva sul cerchio.
In caso contrario la curva chiusa generata dipenderà da un valore parametrico che non è più quello angolare, anche se la sua forma potrebbe essere comunque interessante.
Si deduce, con x diverso da 90 e 180:
snx= tan(x)* csx
csx= snx /tan(x)
Per x=90 : snx=1 ; x=180 : snx=-1
Dunque la funzione snx(x) che abbiamo utilizzato per costruire il flesso, fornisce una effettiva onda solo se vale la proprietà:
snx(x+90)=sn(x)/tan(x)
Questa proprietà è intrinseca alla curva e non è facile da ottenere nel definire l’onda direttamente.
Per ottenere un’onda di questo tipo si può partire inversamente da una curva chiusa con 2 assi di simmetria ortogonali,in corrispondenza dei quali la curva deve toccare il cerchio di raggio 1. Tale curve deve essere espressa in coordinate polari, riportando su un asse orizzontale il valore angolare e la proiezione del raggio vettore lungo la verticale, come si è fatto per passare dal cerchio alla sinusoide.
Sarà sufficiente definire il solo semiarco crescente, compreso entro due assi di simmetria
Per costruire questo tipo di onda, conviene considerare l’intervallo (-180,180) piuttosto di (0,360), per avere una simmetria rotatoria rispetto l’origine.
Se il semiarco crescente in (0,90) ha la forma:
y=f(x) con f(0)=0 e f(90)=1 in analogia alla curva sin(x)
la semicampata successiva in (90,180) avrà equazione:
y=f(x-90)/tan(x-90)=-f(x-90)*tan(x) !1/tan(x-90)=-tan(x)
Infatti f(x)/tan(x) corrisponde al coseno che viene portato in avanti di ¼ lunghezza d’onda.
Per la simmetria rotatoria per i valori negativi di x si ha:
y= -f(-x) in (-90,0)
y=-f(-x-90)*tan(-x)= f(-x-90)*tan(x) in (-180,-90) !tan(-x)=tan(x)
In conclusione per x in (-180,180):
if x=-180 then snx =0
if x>-180 and x<-90 then snx =f(-x-90)*tan(x)
if x>=-90 and x<0 then snx =-f(-x)
if x>=0 and x<=90 then snx = f(x)
if x>90 and x<180 then snx =-f(x-90)*tan(x)
if x=180 then snx =0
if x=-90 or x=90 then csx=0
if x=-180 or x=180 then csx=-1
if x=0 then csx=1
if not(x=-90)and not(x=90)and not(x=-180)and not(x=180)and not(x=0)then csx=snx/tan(x)
Questa formula, a partire dal semiarco y=f(x) , definisce un tipo di flesso che genera una curva chiusa con coodinate polari in x:
xx= r*csx
yy= r*snx
Oggetto di riferimento:
onda quadrato.gsm
In questo oggetto si parte dal quadrato in coordinate polari, si genera da questo la forma ad onda, poi inversamente si verifica (vedi commento) la formula che da un quarto di onda restituisce la figura.
Se viene scelto un arco f(x) qualsiasi, non generato con il metodo descritto a partire da una curva chiusa doppiamente simmetrica, si genera un’onda discontinua.
Con un semiarco f(x) qualsiasi si può costruire comunque un’onda snx, ripetendolo simmetricamente, ma poi l’onda coniugata csx avrà una forma diversa da snx.
Dato il semiarco crescente y=f(x) in (0,90) con f(0)=0 e f(90)=1, la seconda campata si ottiene riflettendolo lungo l’asse y e traslandolo di mezza lunghezza d’onda:
y=f(-(x-180))= f( 180-x )
operazione equivalente al comandi:
mul2 -1,1
add2 -180,0
La parte rimanente, a sinistra di O, si ottiene per simmetria centrale
(equivalente a rot2 180 ovvero a mul2 -1,-1):
!x definito in (-180,180)
if x<-90 then snx =-f( 180+x )
if x>=-90 and x<0 then snx =-f(-x)
if x>=0 and x<=90 then snx = f(x)
if x>90 then snx = f( 180-x )
if x=-90 or x=90 then csx=0
if x=-180 or x=180 then csx=-f(.00001)/tan(.00001)
if x=0 then csx= f(.00001)/tan(.00001) !valori limite
if not(x=-90)and not(x=90)and not(x=-180)and not(x=180)and not(x=0)then csx=snx/tan(x)
Questa formula, a partire dal semiarco y=f(x), definisce due tipi di onde che generano una curva chiusa con coodinate polari in x:
xx= r*csx
yy= r*snx
Oggetti di riferimento:
onda zig zag.gsm
Questo oggetto costruisce la figura chiusa a partire da due onde uguali a zig-zag, cioè triangolari. In questo caso si applica il procedimento più semplice, che non costruisce la curva in coordinate polari. Si ricava un quadrato.
onda zig zag2.gsm
Questo oggetto costruisce la figura chiusa in coordinate polari a partire da un’onda a zig-zag. La seconda onda viene costruita in base a questa, ma deve assumere una forma diversa. L’oggetto finale è una mandorla. I punti di contatto con il cerchio sono solo 2 e non 4. Viene così verificato che un’onda del tipo a zig zag non può produrre onde analoghe alla sinusoide, in quanto la sua complementare deve cambiare forma.
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