HOME OGGETTI 3D LIBRI CORSI TUTORIAL FORUM SHOP CONTATTI   LOGIN









Autore Topic: Parabole cubiche  (Letto 2765 volte)

0 Utenti e 1 Visitatore stanno visualizzando questo topic.

marcomasetti

  • Newbie
    ...sono qui da poco, il mio miglior amico è il pulsante RICERCA
  • *
  • Post: 183
Parabole cubiche
« il: 12 Maggio 2013, 23:29 »
Le parabole cubiche, piane (esistono pure sghembe, a differenza della parabola ordinaria) si ottengono da equazioni algebriche del terzo grado.
Nella forma in cui le espongo non sono molto utili per la grafica, dato che si parte dall'equazione per ricavarne la forma, mentre nel disegno occorre il procedimento inverso.
Tuttavia viene chiarita la tipologia della curva, applicando i concetti del post di ieri, sulle equazioni del terzo grado.

Studiamo ora l’equazione generale della parabola cubica:
y=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+a0
Se a3 è assunto come positivo, la curva risulta ascendente, a parte l’eventuale intervallo tra massimo e minimo relativi, dove risulta decrescente.
La sua funzione derivata risulta essere:
dy/dx= 3*a3*x^2+2*a2*x+a1
La funzione derivata associa ad ogni posizione di x la pendenza assunta dalla curva.
Dove la pendenza è nulla, come nei punti di massimo o minimo relativi, risulta pertanto dy/dx=0.
Abbiamo che  3*a3*x^2+2*a2*x+a1=0  per :
di= a2^2-3*a1*a3
x1=(-a2-sqr(di))/(3*a3)
x2=(-a2+sqr(di))/(3*a3)
Se il discriminante di>0, il massimo e minimo sono distinti, mentre il punto di flesso si trova compreso tra i due, nella posizione dove la derivata seconda risulta nulla:
y”= 6*a3*x+2*a2=0
x=-a2/(3*a3)
Se il discriminante di non è positivo, il massimo e minimo relativi si unificano in un unico flesso, con tangente orizzontale nel caso particolare in cui risulti di=0.
 
Risulta evidente che solo con il discriminante “di” positivo possono esistere 3 radici reali.
Negli altri due casi ci saranno una sola radice reale e 2 complesse quando la curva taglia l’asse x in un punto distinto dal flesso, oppure tre radici reali coincidenti nell’altra evenienza.
In particolare, per di>0, si avrà una radice reale e 2 complesse se la curva attraversa l’asse x fuori dalla fascia definita dalle sue due tangenti orizzontali. Si avranno una radice reale e due reali coincidenti se l’asse x coincide con una di queste due tangenti orizzontali, mentre avremo tre radici reali distinte soltanto con l’asse x all’ interno della fascia.