La progressione geometrica

[marcomasetti]

La serie in progressione geometrica è una successione di numeri dove il successivo si ottiene dal precedente moltiplicandolo per un fattore detto ragione della progressione.
La serie in progressione aritmetica è invece una successione di numeri dove il successivo si ottiene dal precedente aggiungendo un valore fisso.
Il primo tipo di serie è molto più importante per l’architettura, Le Corbusier lo utilizza nel Modulor utilizzando come ragione il numero aureo di Fibonacci = (sqr(5)+1)/2
Un esempio di successione geometrica:
m, m*ra, m*ra^2, … , m*ra^n, …
Ai fini del disegno con il calcolatore è importante poter calcolare  la sommatoria di un numero arbitrario di elementi in successione geometrica.
(ra-1)*(1+ra+…+ra^n)= ra^(n+1)-1
1+ra+…+ra^n=(ra^(n+1)-1)/(ra-1)
m+m*ra2 … + m*ra^n=m*(ra^(n+1)-1)/(ra-1)       !sommatoria di n+1 elementi
Ad esempio volendo costruire in 2D un reticolo in prospettiva frontale, mentre non ci sono problemi per costruire le ortogonali, senza la formula della sommatoria diventa impraticabile costruire le trasversali (a differenza del disegno fatto a mano, che sfrutta i punti di intersezione con una diagonale). Infatti le trasversali si dispongono in successione geometrica (vedi il mio testo:
Marco Masetti, La prospettiva scenica e tridimensionale, Pitagora editrice, Bologna,2009   a pag.46 ).

Nel testo 2D scrivere:

!inizio----------------------------------------
x=1
ra=.5    !ra<1 altrimenti le linee invece di infittirsi, si allontanano
m=.5 
n=7      !fine parametri
for i=0 to n
line2  –x/2, m*(ra^(i+1)-1)/(ra-1),   x/2, m*(ra^(i+1)-1)/(ra-1)
next i

line2  –x/2, m/ (1-ra), x/2, m/ (1-ra)  !L.O., retta limite della successione
!fine----------------------------------------

Lo script costruisce n+2 rette orizzontali sovrapposte in successione geometrica.

Di fatto le rette si possono considerare come le trasversali di una prospettiva frontale con modulo oggettivo m e con linea di orizzonte a quota: m/ (1-ra)
Infatti con ra<1:
limite per n all’infinito:  m*(ra^(n+1)-1)/(ra-1) = m*(- 1)/(ra-1)=m/ (1-ra)

Proviamo ora a “disegnare”, con l’algebra, il Modulor di Le Corbusier, che trovo a pag.298 del testo:
A.Marcolli, Teoria del campo, Firenze 1974

Il disegno lo costruiamo rovesciato, in modo da avere i valori decrescenti verso l’alto.

fi=(sqr(5)+1)/2  !numero di Fibonacci, proporzione aurea: fi=1/(fi-1)

line2  -.2,0, .2,0
line2  0,1-fi/2,   .2,1-fi/2

add2 0,1-fi/2

m=1/(2*fi)   
ra=1/fi   
for i=0 to n-1
line2  0,m*(ra^(i+1)-1)/(ra-1), .2,m*(ra^(i+1)-1)/(ra-1)
next i

for i=0 to n-2
arc2  0,m*(ra^(i+1)-1)/(ra-1),  1/2/fi^(i+1)    ,-90, 90
next i

line2  -.2,m/ (1-ra),   .2,m/ (1-ra) !altezza totale 1-fi/2+1/(2*fi)/ (1-1/fi)=1
   
del 1

Questo è lo script della parte sinistra, che essendo rovesciata diventa destra.
Lo script completo del Modulor è nell’oggetto gsm allegato, assieme ad altri esempi di applicazioni della progressione geometrica.

Se volete contattarmi in relazione a qualche argomento:
Masetti Marco,  Circonvallazione Italia 13,  40017  S.G.Persiceto (BO)
promasetti@gmail.com